そこで今回のケースでは失業保険が待機期間７日でもらえるのか教えていただきたいです。再就職手当のことでしょうか。また、離職の原因も会社都合ですから、ご質問の文面どおり待期期間も7日で済むものと思われます。

失業保険の手続きをして、何度か給付金をもらいました。残り90日分です。今就職すると再就職手当はもらえないと思いますが、残っている分は全部もらえるのでしょうか？

残り90日なら再就職手当もらえますよ。

仮にもらえないとして、
>>残っている分は全部もらえるのでしょうか？

もらえません。ただ、再就職した会社を辞めたときに、そこの会社で基本手当の受給資格を得られず、
かつ、その離職が今現在もらっている基本手当の受給期間内であれば残っている分はもらうことができます。

失業保険、就職一時金について教えて下さい
８月３１日付けで、５年６カ月勤務した会社を会社都合で退職します
失業保険の給付日数？
金額？
自分の給料明細
基本給１００，０００円早朝手当２５，０００円残業手当２５，０００円拡張手当３０，０００円
皆勤手当１０，０００円配達手当６２，７００円調整金４７，０００円

雇用保険１，８８１円所得税６，０００円家賃負担金４１，０００円（会社社宅自己負担金）

総額３１３，４８０円控除合計５１，２７８円差引支給額２６２，２０２円

給料は退社するまで、ほとんど変わりありません

就職一時金について

朝日新聞の販売店で勤務していました。違う朝日新聞の販売店でもOKですか？

就職一時金と言うものはありません。再就職手当のことでしょうか。
でも質問内容は雇用保険の基本手当の金額の事をおっしゃっているようですが・・・。
まず、基本手当日額の計算は過去６ヶ月の支給総額平均で計算します。
平均が３１４０００円とすると、５６３０円が基本手当日額になります。支給日数は年齢によって違いますが、３０歳未満で１２０日、３０歳～４５歳未満までが１８０日になります。（雇用保険加入期間が５年以上として）
ちなみに再就職手当のことですが、再就職の時に支給日数が３分の１以上残っていれば残りに対して５０％、３分の２以上あれば６０％の金額が支給されます。
また、再就職の会社が前の会社と人事、資本、取引などで密接な関係にない場合は同業者でも問題はありません。
「補足」
ウッカリしました。８月から改正になって基本手当日額が少し上がっていました。５８０８円です。

失業保険について教えてもらいたいです。
現在派遣社員として２月～６月までの契約で介護施設で働いておりましたが
今年の５月末で急に切られることになりました。

そこで今回のケースでは失業保険が待機期間７日でもらえるのか教えていた
だきたいです。雇用保険は加入しております。

補足として今年の１月までは２年間正社員として働いていました。
辞めた際失業保険の手続きは行っておりません。

雇用保険の被保険者資格喪失後、失業給付(基本手当等)を受給せずに1年以内に再就職して被保険者資格を再取得すれば、被保険者資格を通算することが可能です。
したがって、ご質問のケースでも、1月まで勤務されていた会社で雇用保険に加入していた限り、被保険者期間は通算されますので、基本手当(失業手当)の受給資格を満たします。
また、離職の原因も会社都合ですから、ご質問の文面どおり待期期間も7日で済むものと思われます。
なお、最初の失業認定日は、ハローワークで求職の申込みをしてから約1ヶ月後となります。